求传递闭包的 Warshall 算法详解
过程详情
【例子】关系的矩阵是：
$$ \boldsymbol{W}_{0}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$求传递闭包。
【分析与解答】
我们看第 1 列：$\pmatrix{0\\1\\1\\0}$。
$\pmatrix{\color{red}0\\1\\1\\0}$ $a_{11}=0$ 跳过。
$\pmatrix{0\\\color{blue}1\\1\\0}$ $a_{\color{green}2\color{red}1}=1$，则 $a_{\color{red}1}$ 行加到 $a_{\color{green}2}$ 行：
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{blue}1 \\ 1+\color{blue}0 & 0+\color{blue}0 & 1+\color{blue}0 & 0+\color{blue}1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$得到：
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$$\pmatrix{0\\1\\\color{blue}1\\0}$，$a_{31} = 1$，则 $a_1$ 行加到 $a_3$ 行，得到：
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$$\pmatrix{0\\1\\1\\\color{red}0}$，$a_{41} = 0$，跳过。
接下来是第二列（注意：不是原矩阵的第二列，而是上面处理后最后的矩阵的第二列，下同）：
我们看第 2 列：$\pmatrix{0\\0\\0\\0}$。全是零，意味着 $a_{i2}$ 都跳过处理。
我们看第 3 列：$\pmatrix{0\\1\\0\\1}$
注意到 $a_{23} = 1$，则 $a_3$ 行加到 $a_2$ 行，得到：
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$注意到 $a_{43} = 1$，则 $a_3$ 行加到 $a_4$ 行，得到：
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$我们看第 4 列：$\pmatrix{1\\1\\1\\1}$
注意到 $a_{14}\sim a_{44} = 1$，也就是 $a_4$ 行依次加到上面各行：
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$这就是最终正确答案。
例题
【例子】计算传递闭包之于：
$$ \boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$【分析与解答】
按列从左到右，每列按行从上到下扫描：
$(4,1) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$$(1,2) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$$(4,2) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$$(4,3) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$$(1,4) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$$(2,4) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$$(4,4) = 1$，故：
$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$🦔最终解。