物理学基础 7: 恒定磁场

(因为上下环路，都与电流平行，所以是 2l。因为电流所在的金属板在选取区域内长度是 $ l $，所以是 $ jl $）

所以 $ B = \mu_0 / 2j $。可见，无限均匀平面电流两侧的磁场为均匀等大反向磁场。

【例子】 一个无限长厚壁导体圆简内径为R1，外径为R2，圆简上通有电流I，且电流均匀分布，求该圆简的磁感应强度分布。

【分析与解答】

如果 $ r > R_2 $

取圆筒外任意闭合圆环，则 $ B(2 \pi r - 0) = \mu_0 I $ 得到 $ B = \dfrac{\mu_0 I }{ 2 \pi r} $

可以发现这样的方法比手动计算积分方便多了。

如果 $ r < R_1 $ 显然 $ \vec{B} = 0 $

如果 $ R_1 < r < R_2 $，则通过的电流要乘以一个权重： $\frac{\pi r^{2}-\pi R_{1}^{2}}{\pi R_{2}^{2}-\pi R_{1}^{2}}$ ，结果 $B=\frac{\mu_{0} I\left(\pi r^{2}-\pi R_{1}^{2}\right)}{2 \pi r\left(\pi R_{2}^{2}-\pi R_{1}^{2}\right)}$

【例子】 如果将阴极射线路径上放上一个蹄形磁铁，让射线穿过 N S 磁极之间，问电子会怎么偏？不考虑重力。

【分析与解答】 用右手判断，向上偏。

【例子】

图示为三种不同的磁介质的 B-H 关系曲线，其中虚线表示的是 $ B = \mu_0 h $ 的关系，说明a、b、c各代表哪一类磁介质的 B-H 关系曲线：

【分析与解答】

顺磁质 $ \mu_r > 1 $，抗磁质 $ \mu _r < 1 $， 铁磁质 $ \mu _r >> 1 $

所以看斜率可知依次是铁磁质、顺磁质、抗磁质。

【例子】 螺线管半径 $ R $，绕线圈 $ N $ 匝，通过电流 $ I $，磁介质的磁导率是 $ \mu _r $，求管内磁场强度和磁感应强度。

【分析与解答】 磁场强度 $ H = nI $，其中 $ n $ 是单位长度上的线圈匝数，所以 $ n = \dfrac{N}{2 \pi R} $

所以 $ H = \dfrac{N}{2 \pi R} I$。B 场和 H 场方向一致，右手一比，磁场方向是顺时针。

而 $ B = \mu_0 \mu_r H = \mu_0 \mu_r \dfrac{N}{2 \pi R}$ 方向同 $ H $

【例子】

一根同轴线由半径为 $ R_1 $ 的长导线和套在它外面的内半径为 $ R_2 $ 、外半径为 $ R_3 $ 的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为 $ \mu $ 的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布。求磁介质内表面的束缚电流。

【分析与解答】

电缆外明显是 0。

电缆内的话，$ 2 \pi r H = I \to H = \dfrac{I}{2 \pi r} $

$ B = \mu_0 \mu_r H = \dfrac{\mu_0 \mu I}{2 \pi r} $

束缚电流 $ I' = j' \cdot w_{j'}$, $ w{j'} = 待求表面在 I 垂直方向上的周长$， $ j' = M \cos \theta $, $ \theta =0 $, $ M = \dfrac{\mu_r -1}{\mu_0 \mu_r} B_{内} $

对于本题，$ B_{内} = \dfrac{\mu_0 \mu I}{2 \pi R_1}$， $ M = \dfrac{\mu_r - 1}{\mu_0 \mu_r} B_{内} = \dfrac{\mu_r I\mu_r - 1}{2 \pi R_1}$

$ W{j'} = 2 \pi R_1 $， $ j' = M \cos 0 = \dfrac{(\mu_r \mu_r - 1 )I}{2 \pi R_1} $， 所以 $ I' = {(\mu_r-1) I}$